正弦定理和余弦定理的多种证明方法

同标题。

正余弦定理证明

正弦定理的证明方法

wjs：千篇一律！！！

余弦定理的十一种证明方法

wjs：Interesting。

余弦定理：三角形任一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边与其夹角余弦的积的二倍。

如图 1 所示，在 $\triangle ABC$ 中，若 $AB=c,BC=a,AC=b$，则有： \[ c^2=a^2+b^2-2ab\cos C \\ a^2=b^2+c^2-2bc\cos A \\ b^2=a^2+c^2-2ac\cos B \]

如图 2，在锐角 $\triangle ABC$ 中，作 $AD\bot BC$ 于 $D$，则 $CD=b \cos C$，$AD=b \sin C$。

在 $\triangle ABC$ 中，由勾股定理，得 $AB^2=BD^2+AD^2$，即： \[ \begin{aligned} AB^2&=(a-b \cos C)^2+(b \sin C)^2\\ &=a^2-2ab \cos C+b^2 \cos^2 C+b^2 \sin C^2\\ &=a^2-2ab \cos C+b^2 \end{aligned} \] 即 $c^2=a^2+b^2－2ab \cos C$。

当 $C$ 重合于 $D$ 时，在 $\text{Rt}\triangle ABC$ 中，$\angle C=\dfrac \pi2$，因 $\cos C=0$，所以 $c^2=a^2+b^2$。

当 $C$ 在 $D$ 左侧时，$\triangle ABC$ 为钝角三角形，如图 3 所示。

此时：
- $\angle ACD=\pi -C$；
- $\cos\angle ACD=\cos(\pi-C)=- \cos C$；
- $\sin\angle ACD=\sin(\pi-C)=\sin C$
所以 $CD=b \cos(\pi-C)=-b \cos C,AD=b \sin(\pi-C)=b \sin C$。

在 $\text{Rt}\triangle ABD$ 中，由勾股定理，得 $AB^2=BD^2+AD^2$，即： \[ \begin{aligned} AB^2&=(a-b \cos C)^2+(b \sin C)^2\\ &=a^2-2ab \cos C+b^2 \cos^2 C+b^2 \sin^2 C\\ &=a^2-2ab \cos C+b^2 \end{aligned} \] 即 $c^2=a^2+b^2-2ab \cos C$。
将 $\triangle ABC$ 的顶点 $C$ 置于原点，$AC$ 落在 $x$ 轴的正半轴上，如图 4 所示，则：
- $A(b,0)$；
- $B(a \cos C,a \sin C)$；
- $C(0,0)$
由此得： $$
\[\begin{aligned} |AB|^2&=(a \cos C－b)^2+(a \sin C-0)^2\\ &=a^2 \cos^2 C-2ab \cos C+b2+a^2 \sin^2 C\\ &=a^2+b^2-2ab \cos C \end{aligned}\]
$$
由正弦定理 $\dfrac a{\sin A}=\dfrac b{\sin B}=\dfrac c{\sin C}$ 变形得： \[ \begin{cases} a=2R\sin A\\ b = 2R\sin B\\ c=2R\sin C \end{cases} \] 所以 $a^2+b^2-c^2=4R^2(\sin^2 A+\sin^2 B-\sin^2 C)$。

因： \[ \begin{aligned} &\sin^2A+\sin^2B-\sin^2C\\ =&-\dfrac 12(\cos 2A+\cos 2B)+\dfrac {1+\cos 2C}2\\ =&\dfrac{1-\cos A}2+\dfrac {1-\cos B}2 - \dfrac {1-\cos C}2\\ =&-\cos(A+B)\cos(A-B)+\cos ^2C\\ =&\cos C\cos(A-B)+\cos^2C\\ =&\cos C\times [\cos (A-B)+\cos C]\\ =&\cos C\times [\cos(A-B)-\cos(A+B)]\\ =&2\sin A\sin B\cos C \end{aligned} \] 所以： \[ \begin{aligned} &a^2+b^2-c^2\\ =&4R^2\cdot 2\sin A \sin B \cos C\\ =&2\cdot 2R \sin A\cdot 2R\sin B\cdot \cos C\\ =&2ab\cos C \end{aligned} \] 即 $c^2=a^2+b^2-2ab \cos C$。
由正弦定理，得 $\dfrac a{\sin A}=\dfrac b{\sin B} = \dfrac c{\sin C} = \dfrac c{\sin (A+B)}$。

从而有：
1. $a\sin B=b\sin A$；
2. $c\sin A=a\sin (A+B)=a\sin A\cos B+a\cos A\sin B$
a 式代入 b 式，整理得 $a\cos B=c-b\cos A$。

进一步可得 $a^2=(b\sin A)^2+(c-b\cos A)^2=b^2+c^2-2bc \cos A$。
如图 5 所示，令 $\angle A=\alpha$，以 $B$ 为圆心，以长边 $AB$ 为半径画圆（这里用长边的原因是保证 $C$ 点在圆内）。

延长 $BC$ 交 $\odot B$ 于点 $D$ 和 $E$，则：
- $CD=c-a$；
- $CE=c+a$；
- $AC=b$
因为 $AG=2c \cos \alpha$，故 $CG=2c \cos \alpha-b$。

由相交弦定理得 $CD \times CE=AC\times CG$，故 $(c-a)(c+a)=b(2 \cos\alpha-b)$，化简得 $a^2=b^2+c^2+2ac \cos\alpha$，即 $a^2=b^2+c^2+2ac \cos A$。
如图 6，以 $\text{Rt}\triangle ABC$ 的三边为边长向外作三个正方形， $CN\bot IH$ 交斜边 $AB$ 于 $K$。

据说当时欧几里德就是利用此图形证明勾股定理的。

连 $BE,CH$，易证 $\triangle EAB\cong \triangle CAH \text{(SAS)}$，$\triangle EAB$ 与正方形 $EACD$ 等高共底，$\triangle CAH$ 与长方形 $KAHN$ 等高共底，进而可得 $S_{EACD}=S_{KAHN}$；

同理 $S_{FBCG}=S_{KBIN}$，所以 $S_{EACD}+S_{FBCG}=S_{KAHN}+S_{KBIN}=S_{ABIH}$，即 $a^2+b^2=c^2$。

又从 $S_{EACD}=S_{KAHN}$ 可知，$AC^2=AK\cdot AH=AK\cdot AB$，即 $AC2＝AK·AB$（射影定理）。

若 $\triangle ABC$ 不是直角三角形，如图 7 所示，则 $\triangle ABC$ 的三高的延长线将三个正方形分为 6 个矩形，用上面的证明方法可证得每个顶点两边的矩形面积相等。

即：
- $S_{BFMJ}=S_{BLPE}=ac \cos B$（长乘宽）；
- $S_{MGCJ}=S_{CHNK}=ab \cos C$（长乘宽）；
- $S_{KNIA}=S_{LADP}=bc \cos A$（长乘宽）
故 $b^2+c^2=2bc \cos A+ac \cos B+ab \cos C=2bc \cos A+a^2$，即 $a^2=b^2+c^2-2bc \cos A$。
如图 8，将△ABC绕点B旋转一个较小角度α得到△DBE，则△ABC≌△DBE；

由面积关系得SAECD＝S△ABD＋S△DBC＋S△CBE－S△ABE，即

AC·DE sinα＝ BA·BD sinα＋ BD·BC sin(B－α)

＋ BC·BE sinα－ BA·BE sin(B＋α)，

即 b2 sinα＝ c2 sinα＋ ac(sinBcosα－cosBsinα)＋ a2sinα

－ ac(sinBcosα＋cosBsinα)，化简得b2＝a2＋c2－2ac cosB 。

（混沌邪恶，不想改格式了，看不懂）
建立图 9 所示的平面直角坐标系，则点A(0,0)、B(c,0)、C(bcosA，bsinA)，再由两点间距离公式，可得a2＝(c－bcosA)2＋(bsinA)2＝c2－2cbcosA＋b2，即a2＝b2＋c2－2bc cosA。
如图10所示，过C作CD∥AB，交△ABC外接圆于D，则AD＝BC＝a，BD＝AC＝b。分别过C、D作AB的垂线，垂足分别为E、F，则AE＝BF＝bcosA，故CD＝c－2bcosA。由托勒密定理，得AB·BC＝AB·CD＋AC·BD，即a·a＝c·(c－2bcosA)＋b·b，整理得a2＝b2＋c2－2bccosA。
如图11所示，以△ABC的三边为边长向外作三个正方形，作AB边上的高CD，则AD＝bcosA，CD＝bsinA，在Rt△BDC中，BC2＝BD2＋CD2，又BD＝c－bcosA ，所以a2＝(c－bcosA)2＋(bsinA)2，

整理，得a2＝b2＋c2－2bccosA。
如图 12 所示，作△ABC，AB 边上的高

则 c＝bcosA＋acosB，将等式两边同乘以c得 c2＝bccosA＋accosB，

同理可得a2＝accosB＋abcosC……①，

b2＝abcosC＋bccosA……②，

①＋② 得a2＋b2＝accosB＋abcosC＋abcosC＋bccosA＝(bccosA＋accosB)＋(abcosC＋abcosC)＝c2＋2abcosC，即c2＝a2＋b2－2abcosC。

正余弦定理证明

正弦定理的证明方法

余弦定理的十一种证明方法

一言 - Hitokoto